\documentclass[a4j]{jarticle}
%
% RCS version of this file
%
\def\rcs$#1: #2 ${\expandafter\def\csname rcs#1\endcsname{#2}}
\rcs $Revision: 1.5 $
\rcs $Date: 2003/08/22 17:54:18 $
%
% redefinition of \today
%
\def\parsedate#1/#2/#3 #4\relax{{
  \count1=#1\count2=#2\count3=#3
  \xdef\today{\the\count1ǯ\the\count2��\the\count3��}}}
\expandafter\parsedate\rcsDate\relax
%
\title{�Ǿ����ˡ�ˤ��������ǥ�Υѥ�᡼������}
\author{������ͺ}
\newcommand\xii[2]{x_#1^{(#2)}}
\newcommand\btheta{\mbox{\boldmath $\theta$}}
\newcommand\bSigma{\mbox{\boldmath $\Sigma$}}
\newcommand\bsigma{\mbox{\boldmath $\sigma$}}
\newcommand\bepsilon{\mbox{\boldmath $\epsilon$}}
\newcommand\vect[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
�����Ǿ����ˡ������ȡ�
���Υ�ǥ�ѥ�᡼���η���ˡ�ˤĤ��ƽҤ٤롣
����줿��ǥ�ѥ�᡼���θ����ε�����ˤĤ��Ƥ⵭����
�Ǹ�ˤ����Ĥ��Υ������˴ؤ��ƶ���Ū��ɽ���򼨤���
\end{abstract}

\section{�����Ǿ����ˡ}

\subsection{¬��Ȳ��ϥ�ǥ�����}
����¸��ˤ����� $n$~���¬�꤬�Ԥ�줿����ͤ��롣
��İ�Ĥ�¬��˺ݤ��Ƥϡ�$l$~�Ĥ�¬���郎 (���ͤˤ�ä�) ���ꤵ��Ƥ��ꡢ
1~�Ĥ�¬���ͤ��������ΤȤ��롣
$i$~���ܤ�¬�� $(1<i\le n)$ �ˤ�������ѥ�᡼�����Ȥ�
$\xii{i}{1}, \xii{i}{2}, \ldots, \xii{i}{l}$ �Τ褦��ɽ����
������¬���ͤ� $y_i$ �Ȥ��롣
¬���� $y_i$ �ϡ����Τ���ʬ�� $\sigma_i$ ����äơ�
������ ${y_i}^0$ �μ��������ʬ�ۤ��Ƥ����ΤȤ��롣
�ޤ� $\xii{i}{j}$�ˤϸ����ϴޤޤ�ʤ���ΤȤ��롣

���ΤȤ���${y_i}^0$ �� $\xii{i}{j}$ ����
���餫����Ƴ��������ǥ�
\begin{equation}\label{eq:model}
	{y_i}^0 = f( \xii{i}{1},\xii{i}{2},\ldots,\xii{i}{l};
		\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_m)
\end{equation}
�ˤ�äƸ����ʤ��ط��դ������ΤȲ��ꤷ���Ȥ���
���Υ�ǥ�Υѥ�᡼�� $\theta_k \quad (k=1\sim m)$ ����ꤹ�뤳�Ȥ�ͤ��롣
�ѥ�᡼�������ͤϥ٥��ȥ�η�����
\begin{equation}
	\hat{\btheta} \equiv
	\left\{\hat{\theta_1},\ldots,\hat{\theta_m}\right\}
\end{equation}
�Ƚ񤭡����ο����ͤ����ǥ���Ѥ��Ʒ׻�������ͤ�
\begin{eqnarray}
	\hat{y_i} &=& f(\xii{i}{1},\ldots,\xii{i}{l};
	\hat{\theta_1},\ldots,\hat{\theta_m})\quad(i=1\sim n)\nonumber\\
	&\equiv&f_i(\hat{\theta_1},\ldots,\hat{\theta_m})
	\equiv f_i(\hat{\btheta})
\end{eqnarray}
�Τ褦��ɽ�魯��ΤȤ��롣

�Ǿ����ˡ�Ȥϡ����Υѥ�᡼������ˡ�ΤҤȤĤǤ��ꡢ
����Ū�ˤϰʲ��κǾ��������������褦��
$\hat{\btheta}$ ��������ˡ�Ǥ��롣
\begin{equation}\label{eq:LSQR_cond}
	S(\hat{\btheta}) \equiv \sum^n_{i=1}
	\frac{ [y_i - f_i(\hat{\btheta})]^2 }{ {\sigma_i}^2 } = \min
\end{equation}

�����ǡ�¬���ͤȷ׻��ͤȤκ�
\begin{equation}\label{eq:res-err}
	v_i \equiv y_i - \hat{y_i} = y_i - f_i(\hat{\btheta})
	\quad(i=1\sim n)
\end{equation}
��ĺ��ȸƤ֡��ޤ����μ��ǳ�¬���� $y_i$ �νŤ� $w_i$ ��������롣
\begin{equation}\label{eq:weight}
	w_i \equiv {\sigma_0}^2/{\sigma_i}^2
\end{equation}
������ $\sigma_0$ ��Ǥ�դ����٤���������Ǥ��ꡢ
¬�� $i$ �ˤ�����ʬ�� ${\sigma_i}^2$ ��
��¬��ˤĤ��Ƥ��줾����ΤǤ�����ˤϡ�
ñ��� 1 ���֤��ƹ���ʤ���
�⤷ ${\sigma_i}^2$ ��̤�ΤΤȤ��ϡ�
��ɽŪ�Ȼפ����ͤ����ꤷ�Ƥ�����
��~\ref{eq:weight} �˽��ä�
��¬���ͤˤ�����ʬ���εտ��������ͤ�ŤߤȤ�����ɤ���

��~\ref{eq:res-err} �ȼ�~\ref{eq:weight} ���Ѥ���ȡ�
��~\ref{eq:LSQR_cond} �κǾ������ϡ�
\begin{equation}
	S'(\btheta) \equiv {\sigma_0}^2 S(\btheta) =
	\sum^n_{i=1} {v_i(\btheta)}^2 w_i = \min
\end{equation}
�Ƚ�ľ�����Ȥ��Ǥ��롣 

�Ǿ����ˡ���ѥ�᡼�� $\hat{\btheta}$ �κ������ˡ�Ǥ��뤿��ˤϡ�
�ʲ�������ɬ�פȤʤ롣
\begin{enumerate}
\item	¬���ͤθ��� $\epsilon_i = y_i - {y_i}^0$ �����ФǤ��롣���ʤ�
	����$\langle \epsilon_i \rangle = 0$ �Ǥ��롣
\item\label{dispersion}	¬���ͤθ�����ʬ���ϴ��ΤǤ��롣
\item	��¬��ϸߤ�����Ω�Ǥ��ꡢ��ʬ���� 0 �Ǥ��롣
\item	������ʬ�۷Ϥ�����ʬ�ۤǤ��롣
\end{enumerate}

�ºݤˤϾ��~\ref{dispersion} ����������뤳�ȤϺ���Ǥ��뤬��
�Ǿ����ˡ�Ǥ�¬���ͤθ����������ͤΤߤǥ�ǥ�ѥ�᡼������ꤹ�뤳�Ȥ��Ǥ��롣
���������ξ�硢��ǥ��ͭ������ѥ�᡼���η����������뤳�ȤϤǤ��ʤ���

\subsection{������ǥ�}
������ǥ�Ȥϡ���~\ref{eq:model} �ˤ����ơ�
������ $f$ ��{\bf ��ǥ�Υѥ�᡼��} $\theta_k$ ���Ф���켡���
\begin{eqnarray}\label{eq:linear-model}
	& &f(\xii{i}{1},\ldots,\xii{i}{l};\theta_1,\ldots,\theta_m)\nonumber\\
	& &\quad\equiv f_i(\theta_1, \ldots, \theta_m)		\nonumber\\
	& &\quad=X_{i1}\theta_1 + \cdots +X_{im}\theta_m	\nonumber\\
	& &\quad=\sum^m_{j=1} X_{ij} \theta_j \quad (i=1\sim n)
\end{eqnarray}
��ɽ������Τ򤤤��������ǳƷ��� $X_{ij}$ �ϡ�
���ѥ�᡼�� $\xii{i}{1},\ldots,\xii{i}{l}$
��Ȥä�ɽ�������Τ�����Ǥ��ꡢ
��ǥ�ѥ�᡼�� $\theta_i$ �ˤϰ�¸���ʤ���ΤȤ��롣
�Ĥޤ�������٥�ǥ�Ȥϡ�
�����ޤǥ�ǥ�Υѥ�᡼�����Ф��Ƥΰ�̣�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롣
\footnote{�㤨�Хա��ꥨŸ����Ÿ��������׻�����Τ�
�����Ǿ��������ΰ��Ǥ���ȸ����롣}

����������ǥ��Ǿ������Ǥ��뼰~\ref{eq:LSQR_cond} ����������ȡ�
\begin{equation}\label{eq:linear-LSQR_cond}
	S(\btheta) =\sum^n_{i=1}
	\left[ y_i - \sum^m_{j=1} X_{ij} \theta_j \right]^2 / {\sigma_i}^2
\end{equation}
�������롣
��~\ref{eq:linear-LSQR_cond} ���ƥ�ǥ�ѥ�᡼��
$\theta_j$ �˴ؤ��ƺǾ��ˤʤ뤿��ˤϡ�
�ƥѥ�᡼�����Ф�������ʬ�� 0 �ˤʤ���ɤ���
\begin{equation}\label{eq:normal_eq}
	0=\frac{\partial S(\btheta)}{\partial\theta_j} =
	-2 \sum^n_{i=1}\left[y_i - \sum^m_{j'=1} X_{ij'}x_{j'}\right]
	\cdot X_{ij}/{\sigma_i}^2
	\quad (j=1\sim m)
\end{equation}
�����̤�ΤΥ�ǥ�ѥ�᡼�� $\theta_{j'}$ ���Ф�����������ȡ�
\begin{equation}
	\sum^m_{j'=1}\left(\sum^n_{i=1}X_{ij'}X_{ij}/{\sigma_i}^2\right)
	\theta_{j'}
	=\sum^n_{i=1}\left(X_{ij}/{\sigma_i}^2\right)y_i\quad(j=1\sim m)
\end{equation}
�Ȥʤ롣����� $\theta_{j'}$ �˴ؤ���ʲ��Τ褦��ϢΩ�켡�������ˤʤ롣
\begin{equation}\label{eq:normal_sim-eq}
\left\{
	\begin{array}{ccccccccc}
	A_{11}\theta_1&+&A_{12}\theta_2&+&\cdots&+&A_{1m}\theta_m&=&a_1\\
	A_{21}\theta_1&+&A_{22}\theta_2&+&\cdots&+&A_{2m}\theta_m&=&a_2\\
		      &\vdots&		&&	&&		&&\\	
	A_{m1}\theta_1&+&A_{m2}\theta_2&+&\cdots&+&A_{mm}\theta_m&=&a_m
	\end{array}
\right.
\end{equation}
�����������ǡ�
\begin{equation}\label{eq:normal_matrix}
	A_{jj'} \equiv \sum^n_{i=1} X_{ij'}X_{ij}/{\sigma_i}^2
	\quad (j,j' = 1\sim m)
\end{equation}
\begin{equation}
	a_j \equiv \sum^n_{i=1}\left(X_{ij}/{\sigma_i}^2\right)y_i
	\quad (j=1\sim m)
\end{equation}
�Ǥ��롣
�������̤ϡ�
���Τ��� (¬����ѥ�᡼����¬����) ��ɽ����Ƥ��뤳�Ȥ����ա�
��~\ref{eq:normal_eq} ������������ (normal equation) �ȸƤӡ�
�����������β򤬺Ǿ����ˡ�Ƿ��ꤵ���ѥ�᡼�������� $\hat{\btheta}$ �Ȥʤ롣

\subsection{����ɽ��}
�ʾ��ɽ����ʷ��ɽ�魯����ˤϡ�����������Ѥ���Τ������Ǥ��롣
¬���ͤ�¬��ѥ�᡼���ʤɡ�����ޤǽФƤ����ȤˤʤäƤ����̤�
������٥��ȥ� (�ĥ٥��ȥ�) ��ɽ�魯��
�٥��ȥ�Ͼ�ʸ�����������������ʸ����������ɽ����
�٥��ȥ������ž�֤ˤ� \~{} ���Ѥ��롣

¬���ͤΥ٥��ȥ�� $\bf y$ �Ȥ������ο��ͤ� $\bf y_0$ �Ȥ����ơ�
�����٥��ȥ� $\bepsilon$ �򼡤Τ褦��������롣
�����Υ٥��ȥ�μ�����¬�����Ǥ��� $n$ �Ȥʤ롣
\begin{equation}
	\bepsilon \equiv \vect{y} - \vect{y_0}
	 \label{eq:error-vector}
\end{equation}
����ˡ����� $n$ �Ĥ�¬��˴ؤ���������� $\bSigma$ ��
\begin{equation}
	\bSigma \equiv \left\langle 
		\bepsilon \tilde{\bepsilon}
	\right\rangle
\end{equation}
��������롣���ʤ��
$\bSigma_{ii'} \equiv \langle \epsilon_i \epsilon_{i'}
\rangle \quad (i,i' = 1 \sim n)$
�Ǥ��롣���θ���������г���ʬ��ʬ�������г���ʬ��ʬ���ȸƤ֡�

�Ǿ����ˡ�ˤ����롢��¬���ͤθ����˴ؤ����������顢
�����٥��ȥ�ȸ�������ϼ�����������äƤ��뤳�Ȥ��狼�롣
\begin{equation}
	\langle\bepsilon\rangle = {\bf 0}
	 \label{eq:MeanEpsilonZero}
\end{equation}
\begin{equation}
	\bSigma = \left[
	\begin{array}{cccc}
	{\sigma_1}^2	&		&	&0		\\
			&{\sigma_2}^2	&	&		\\
			&		&\ddots	&		\\
	0		&		&	&{\sigma_n}^2
	\end{array}
	\right]
	\label{eq:error-matrix}
\end{equation}

����ˡ���~\ref{eq:weight} ���������Ƥ�����
�Ť� $w_i$ ���г���ʬ�Ȥ���Ť߹��� $\bf W$ ��
�������� $\bSigma$ �εչ�����Ѥ���
\begin{equation}\label{eq:weight-matrix}
	\vect{W} \equiv {\sigma_0}^2 \bSigma^{-1}
\end{equation}
��������롣
¬���ʹ֤���ؤ�����Ȥ�
(��ʬ�������ꡢ$\bSigma$ �����гѹ���Ȥʤ�Ȥ�) �⡢
��~\ref{eq:weight-matrix} �Ϥ��Τޤ���Ω����
���θ��ɽ�����Ѥ�����ɤ���

�ѥ�᡼������٥��ȥ� ($m$~��) �� $\btheta$��
��ǥ�����������٥��ȥ� ($n$~����)
�� $\vect{f}(\vect{x}; \btheta) \equiv \vect{f}(\btheta)$
�Ƚ񤯤��Ȥˤ��롣
����ȺǾ��������ϡ����� $\bsigma$
(������Ū�ˤϸ������� $\bSigma$) �Τ�Ȥǡ�
\begin{equation}
	\vect{y} \cong \vect{f}(\btheta)
\end{equation}
���Ф����Ŭ�ѥ�᡼�� $\hat{\btheta}$ ����뤳�ȤǤ����ɽ���Ǥ��롣

$\hat{\btheta}$ �β�ϡ�
��~\ref{eq:LSQR_cond} ����̲������ʲ��κǾ������
\begin{equation}
	S(\btheta) \equiv
	\tilde{\vect{v}}(\btheta) \bSigma^{-1} \vect{v}(\btheta)
	={\sigma_0}^{-2}\tilde{\vect{v}}(\btheta)\vect{W}\vect{v}(\btheta)
	= \min
\end{equation}
����������ΤȤ����������뤳�Ȥˤʤ롣

��������������ǥ���äˤʤ롣
��~\ref{eq:linear-model} ��ɽ�����������ǥ�ϡ�
�����ɽ���Ǥ�
\begin{equation}
	\vect{f}(\btheta) \equiv \vect{X}\btheta
\end{equation}
��ɽ����롣
������ $\vect{X}$ �ϼ�~\ref{eq:linear-model} �η���
$X_{ij}$ �����ǤȤ��� $n \times m$ ����Ĺ������ǡ�
�䥳�ӥ������ȸƤФ�롣
���̤� $m$~�ĤΥѥ�᡼������ꤹ��ˤϤ���ʾ�β����¬�꤬ɬ�פǤ��뤫�顢
$n>m$ �Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롣

������Ū�ˤϡ��䥳�ӥ����������� $X_{ij}$ �ϡ�
��ǥ� $\vect{f}_i (\btheta)$ �Υѥ�᡼��
$\theta_i$ ���Ф�������ʬ�����Ǥ�����������Ƥ��ꡢ
\begin{equation}
	X_{ij} \equiv \frac{\partial f_i(\btheta)}{\partial\theta_j}
	\quad(i=1\sim n, j=1\sim m)
\end{equation}
�Ǥ��롣�����������ǥ�ξ��ˤϡ�
¬��ξ��ѥ�᡼���Ȥȥ�ǥ�Ȥ�����ΤȤʤ�����Ǥ��롣

�Ǿ������ (��~\ref{eq:linear-LSQR_cond})
����ʬ���������������������ϡ���~\ref{eq:normal_eq} ����������ɽ����
\begin{equation}
	\left( \tilde{\vect{X}}\vect{WX} \right)\btheta = 
	\tilde{\vect{X}}\vect{Wy}
\end{equation}
�Ƚ񤱤롣���뤤�ϡ���~\ref{eq:normal_sim-eq} �η����ǽ񤱤С�
\begin{equation}
	\vect{Ax} = \vect{a}
\end{equation}
�Ȥʤ롣�����������ǡ�
\begin{equation}
	\vect{A} \equiv \tilde{\vect{X}}\vect{WX}
\end{equation}
\begin{equation}
	\vect{a} \equiv \tilde{\vect{X}}\vect{Wy}
\end{equation}
�Ǥ��롣

�������äƺǾ����� $\hat{\btheta}$ �ϡ�
\begin{equation}\label{eq:root-LLSQR}
	\hat{\btheta} = \vect{A}^{-1}\vect{a} =
	(\tilde{\vect{X}}\vect{WX})^{-1} \tilde{\vect{X}}\vect{Wy}
\end{equation}
�Ǥ��롣�����ǡ�$m\times n$ �ι��� $\vect{C}$ ��
\begin{equation}
	\vect{C} \equiv \vect{A}^{-1} \tilde{\vect{X}}\vect{W}
	= \left(\tilde{\vect{X}}\vect{WX}\right)^{-1}\tilde{\vect{X}}\vect{W}
\end{equation}
���������С���ɼ�~\ref{eq:root-LLSQR} ��
\begin{equation}
	\hat{\btheta} = \vect{Cy}
	\label{eq:LSQ-matrixex}
\end{equation}
�Ȥʤꡢ��������Ǿ����ˡ�β� $\hat{\btheta}$ �ϡ�
¬���� $y$ ����������ɽ����뤳�Ȥ��狼�롣

\section{��ǥ�ͭ�����θ���}
�����Ǿ���������ݤ����Ѥ�����ǥ뤬�����Ǥ��뤫�ɤ����ˤĤ��Ƥϡ�
��¬���ͤ�ʬ�����狼�äƤ������
$\chi^2$ ����ˤ�äƸ��ꤹ�뤳�Ȥ��Ǥ��롣
(To be written: ����ʸ���� \S 3.5 �򻲾�)

\section{����ѥ�᡼���θ���}
����Ȥ��ơ���~\ref{eq:error-vector} ��������������٥��ȥ�
$\bepsilon$ �ϴ��ΤȤ��롣�ޤ�¬���ͤο��� $\vect{y}^0$ �ȡ�
�ѥ�᡼�������ͤο��� $\btheta^0$ ��
$\vect{y}^0 = \vect{X}\btheta^0$ �Ȥ����ط��ˤ���Ȥ��롣
���ΤȤ�
\begin{equation}
 \vect{Cy}^0 = \vect{CX} \btheta^0
  = (\tilde{\vect{X}}\vect{WX})^{-1}
     \tilde{\vect{X}}\vect{WX} \btheta^0
  = \btheta^0
\end{equation}
�����顢��~\ref{eq:LSQ-matrixex} �� $\vect{y}^0$
���Ѥ���� $\btheta^0$ �������뤳�Ȥ��狼�롣

���ΤȤ��ѥ�᡼�������� $\hat{\btheta}$ �ο��ͤ��Ф��뤺��
$\delta\btheta$ �ϡ�
\begin{equation}
 \delta \btheta
  \equiv \hat{\btheta} - \btheta^0
  = \vect{Cy} - \vect{Cy}^0
  = \vect{C}\bepsilon
  \label{eq:error-trans}
\end{equation}
�Ȥʤ롣
���ʤߤ˺Ǿ����ˡ��Ŭ�Ѿ�� (��~\ref{eq:MeanEpsilonZero})
��� $\langle\delta\hat{\btheta}\rangle = 0$ �Ȥʤ�Τǡ�
�ѥ�᡼�������ͤδ����ͤ� 0 �Ȥʤꡢ
���줬���п����̤ˤʤäƤ��뤳�Ȥ�����Ǥ��롣

���ޤ��Υѥ�᡼�������ͤ�ʬ������ʬ������ʤ�
�������� $\bSigma_{\hat{\btheta}}$ �򼡤Τ褦��������롣
\begin{eqnarray}
 (\bSigma_{\hat{\btheta}})_{jj} &\equiv&
  {\sigma_{\hat{\btheta}_j}}^2 =
  \langle\langle \hat\theta_j - {\theta_j}^0\rangle^2\rangle
  \quad (j=1\ldots m)\\
 (\bSigma_{\hat{\btheta}})_{jj'} &\equiv&
  \langle (\hat\theta_j - {x_j}^0) (\hat\theta_{j'} - {x_{j'}}^0) \rangle
  \quad (j\neq j', j,j'=1\ldots m)
\end{eqnarray}
������ޤȤ��ɽ����\ref{eq:error-trans} ����������ȡ�
\begin{eqnarray}
 \bSigma_{\hat{\btheta}} &\equiv&
  \langle (\hat{\btheta}-\btheta^0) (\tilde{\hat{\btheta}-\btheta^0}) \rangle
  \nonumber\\
 &=& \langle \vect{C\epsilon} \tilde{\bepsilon}\tilde{\vect{C}} \rangle
  = \vect{C} \langle \bepsilon \tilde{\bepsilon} \rangle \tilde{\vect{C}}
  = \vect{C} \bSigma \tilde{\vect{C}}
\end{eqnarray}
�������롣���δط��ϡ�¬���ͤ���ѥ�᡼���ؤθ������Ť��Τ�ΤȤ����롣

\section{�����������ǥ�}

\subsection{$y=\theta x$}
���ΤȤ���ǥ�ѥ�᡼���ϤҤȤĤ��������� $n=1$ �� $\btheta = \theta$��
���� $m$ ���¬���Ԥä� $(x_i, y_i) \quad (j=1\ldots m)$ �Ȥ���
�ǡ������åȤ�����줿�Ȥ���ȡ��䥳�ӥ������ $\vect{X}$ ��
\begin{equation}
\vect{X} = \left(
	\begin{array}{c}
	x_1	\\
	x_2	\\
	\vdots	\\
	x_m	\\
	\end{array}\right)
\end{equation}
�Ȥʤ롣�����Ǽ�~\ref{eq:weight-matrix} �Τ褦�ʽŤ߹�����Ѥ���
��~\ref{eq:LSQ-matrixex} ����������� $\theta$ �������롣

��~\ref{eq:error-matrix} �Τ褦�ˡ�
���������г���ʬ���������ʤ� (�Ĥޤ�¬��֤ζ�ʬ���� 0) �ʤ�С�
��~\ref{eq:LSQ-matrixex} ��
\begin{equation}
\theta =\frac
	{\sum^m_{j=1}\left(\frac{x_jy_j}{{\sigma_j}^2}\right)}
	{\sum^m_{j=1}\left(\frac{{x_j}^2}{{\sigma_j}^2}\right)}
\end{equation}
�Ȥʤ롣�ޤ����Υѥ�᡼�������ͤθ����ϡ���~\ref{eq:error-trans}
���Ѥ���
\begin{equation}
\sigma_{\theta} =\frac {1}
	{\sum^m_{j=1}\left(\frac{{x_j}^2}{{\sigma_j}^2}\right)}
\end{equation}
�Ȥʤ롣

\subsection{$y=\theta_1 + \theta_2$ x}\label{ss:a-bx}
Ʊ�ͤ˹ͤ������ΤȤ��Υ䥳�ӥ�������
\begin{equation}
\vect{X} = \left(
	\begin{array}{cc}
	1	& x_1\\
	1	& x_2\\
	\vdots	&\vdots\\
	1	& x_m\\
	\end{array}\right)
\end{equation}
�Ǥ��롣

���Υ������� GNU octave (\texttt{http://www.octave.org})
�ˤ�äƼ���������򼨤����ʲ��Υ�����ץȤǤϡ�
�ǡ������åȤ�ɸ�����Ϥ���Ϳ����ȡ�
$\btheta$~�٥��ȥ�Ȥ��θ�������Ȥ����Ϥ���롣
\texttt{Tx} ���ѹ�����С�¾�ξ���Ŭ�Ѥ���Τ��ưפǤ�������
\begin{verbatim}
#!/usr/bin/octave -qf
line=fgets(stdin);
while ( !feof(stdin) )
     [xi, yi, dyi] = sscanf(line, "%f %f %f", "C");
     x(i)  = xi;
     y(i)  = yi;
     dy(i) = dyi;
     i++;
     line=fgets(stdin);
endwhile

[rx, cx] = size(x);
Tx = [ones(rx,1), x];
Ty = log(y);

Dy = dy ./ y;

EM = diag(Dy.^2);
WM = inv(EM);
C = inv(Tx' * WM * Tx) * Tx' * WM;

Theta = C * Ty
vMat = inv(Tx' * WM * Tx);
\end{verbatim}
\begin{thebibliography}{9}
\item
  ���� Ű, �������סֺǾ����ˡ�ˤ��¸��ǡ������ϡ�
  �����ؽ��ǲ� UP~���ѿ�������~7 (1982)
\end{thebibliography}

\end{document}

